Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Eleminasi Gauss dan Gauss Jordan

Pada bagian ini akan diberikan  suatu prosedur yang sistematik untuk memecahkan sistem persamaan linear yang didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk yang cukup sederhana, sehingga sistem persamaan tersebut dapat kita pecahkan dengan memeriksa sistem tersebut. Matrik yang cukup sederhana yang dimaksud di sini adalah matriks eselon baris dan matrik eselon baris tereduksi.  Eleminasi gauss  dapat digunakan untuk memperoleh matriks eselon baris, sedangkan eliminasi gauss-jordan untuk mendapatkan matriks eselon baris tereduksi :

Sifat sifat yang dimiliki matriks eselon baris adalah :

  1. Jika baris tidak seluruhnya dari nol,  maka bilangan tak nol pertama baris tersebut adalah 1. (disebut 1 utama).
  2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokan bersama-sama di bawah matriks.
  3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol  maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi. Sifat sifat yang dimiliki matriks eselon baris terreduksi ialah sifat sifat 1, 2 ,dan 3 serta sifat sifat berikut.
  4. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.

Contoh : Tentukan pemecahan SPL :

            X  +  y  + 2z = 9

            2x + 4y – 3z = 1

            3x + 6y – 5z = 0

Dengan cara  :

  1. Eliminasi gauss
  2. Eleminasi gauss Jordan

Jawab :

Matriks ekuivalen dengan  SPL  di atas adalah :

penyelesaian_spl_dengan_eleminasi_gauss_dan_gauss_jordan_1

Bentuk matrik yang diperbesar dari SPL tersebut adalah :

penyelesaian_spl_dengan_eleminasi_gauss_dan_gauss_jordan_2

  1. Eleminasi Gauss

penyelesaian_spl_dengan_eleminasi_gauss_dan_gauss_jordan_3

penyelesaian_spl_dengan_eleminasi_gauss_dan_gauss_jordan_4

Bentuk matriks eselon baris (yang ditulis terakhir) kita ubah kembali dalam system persamaan linear menjadi :

        x  +  y  + 2z = 9

        y  –  7/2 z    = -17/2

        z  = 3

Dengan cara subtitusi balik kita peroleh x dan y :

untuk z = 3

maka : y – 7/2 z = -17/2

                              y = -17/2 + 7/2 z

                              y = – 17/2 + 21 /2

                              y = 4/2

                              y = 2

untuk y =2 dan z =3  maka : x + y  + 2 z  = 9

                                          x = 9 – y – 2z

                                          x = 9 – 2 – 6

                                          x = 1

Jadi pemecahan untuk SPL  di atas adalah x = 1, y = 2 , dan z , 3

2. Eleminasi Gauss-Jordan

Untuk mencari matriks eselon baris terreduksi maka setelah kita memperoleh matriks eselon baris diperlukan langkah tambahan berikut:

penyelesaian_spl_dengan_eleminasi_gauss_dan_gauss_jordan_5

Matrik ini berbentuk matriks eselon baris terreduksi yang dapat  dituliskan kembali ke dalam bentuk SPL  sebagai berikut :

X1  = 1 ;  x2  = 2 ; x3 = 3

Jadi pemecahan untuk SPL tersebut adalah : X1  = 1 ;  x2  = 2 ; x3 = 3

Demikian penjelasan singkat tentang cara menyelesaikan persamaan linear dengan menggunakan metoda gauss dan gauss jordan, semoga ada manfaatnya.  Baca juga: Pengenalan matrik

Print Friendly, PDF & Email
Hari

Written by 

admin "Ilmu Itu Tak Ada Yang Tak Bermanfaat"

One Reply to “Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Eleminasi Gauss dan Gauss Jordan”

Leave a Reply

Your email address will not be published.