Cara Menyelesaiakan Sistem Persamaan Linear Menggunakan Matrik

Jika A  adalah matriks m x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B yang berukuran n x 1 , sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu pemecahan, yakni , X = A-1B. Untuk dapat melakukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan matrik ini, kita harus sudah menguasai materi tentang invers matrik. Contoh : diketahui SPL sebagai berikut :

x1   + 2x2 – 3x3   =5

2x1 + 5x2 –  3x3  = 3

x1   +          8x3  = 17

tentukan :

  1. Bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL  tersebut
  2. Pemecahan SPL tersebut

Jawaban :

  1.  Bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL :

x1   + 2x2 + 3x3   =5

2x1 + 5x2 +  3x3  = 3

x1   +          8x3  = 17

adalah :

penyelesaian_spl_dengan_matrik_1

2. Pemecahan untuk SPL tersebut :

A X  = B

A-1. A. X = A-1.B

   I.X      = A-1.B

     X      = A-1.B

Untuk memperoleh matriks A-1 gunakan definisi :

A-1 = (1 / det A )  x Adj (A)

Untuk Mencari adjoint matrik A terlebih dahulu kita cara nilai atau harga minor masing-masing element matrik A (Aij). Minor semua unsur Aij matriks A dapat dicari dengan cara berikut :

penyelesaian_spl_dengan_matrik_2

Dari harga minor di atas, kita dapat membentuk matrik kofaktor dengan mengalikan harga masing-masing minor dengan tanda tempatnya. Kofaktor semua entri Aij dapat dicari dengan cara sebagai berikut :

C11 = -12 . 40 =40        C12 = -13 . 13 =-13       C13 = -14 . -5 =-5

C21 = -13 . 16 =16        C22 = -14 .  5   =5         C23 = -15 . -2 =2

C31 = -14 . -9  =-9         C11 = -15 . -3 = 3          C11 = -16 . 1  = 1

Setelah harga kofaktor masing-masing elemen didapatkan, maka sekarang kita sudah bisa membentuk matrik kofaktor dengan menyusun nilai masing-masing kofaktor. Setelah itu kita akan mendapatkan adjoint matrik A dengan cara mentransposekan matrik kofaktor tersebut. Matrik kofaktor A dan Adjoint matrik A adalah sebagai berikut:

penyelesaian_spl_dengan_matrik_4

Setelah kita dapatkan Adjoint matrik A, kemudian kita hitung nilai determinan matrik A (sebenarnya bisa saja kita cari lebih dahulu). Det (A) dapat diperoleh dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke 1 (atau gunakan cara seperti pada materi sebelumnya) :

penyelesaian_spl_dengan_matrik_5

Jika harga determinan dan adjoint matrik A sudah diperoleh, maka sekarang kita sudah bisa menghitung nilai invers dari matrik A seperti berikut :

penyelesaian_spl_dengan_matrik_6

Karena nilai invers matrik A juga sudah didapatkan, maka sekarang kita sudah bisa mencari nilai masing-masing variabel dengan menggunakan rumus X = A-1B. Sehingga matrik variabel dapat diperoleh seperti berikut:

penyelesaiana_spl_dengan_matrik_7

Jadi pemecahan untuk SPL tersebut adalah : X1  = 1 ; X2 = -1 ;  X3 = 2

dari cara di atas dapat kita simpulkan bahwa untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metoda matrik kita harus melakukan hal-hal berikut :

  1. Ubah SPL terlebih dahulu ke dalam bentuk matrik
  2. Cari nilai determinan dari matrik A
  3. Cari nilai Minor dari matrik A
  4. Cari nilai kofaktor dan kemudian susun dalam bentuk matrik kofaktor
  5. Bentuk adjoint dari matrik A tersebut
  6. Hitung nilai invers dari matrik A
  7. Lakukan perhitungan dengan menggunakan rumus X = A-1B

Demikian cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan matrik, semoga ada manfaatnya.

Baca juga: Menyelesaikan spl dengan eleminasi Gauss dan Gauss Jordan

Print Friendly, PDF & Email
Hari

Written by 

admin "Ilmu Itu Tak Ada Yang Tak Bermanfaat"

One Reply to “Cara Menyelesaiakan Sistem Persamaan Linear Menggunakan Matrik”

Leave a Reply

Your email address will not be published.