Belajar Sistem Persamaan Linear (SPL)

Persamaan linear sering dipakai dalam proses analisis, desain dan sintesis dari sistem perekayasaan. Bentuk yang paling sederhana dari sistem persamaan linear adalah :

a.x = b

dimana a dan b adalah bilangan yang diketahui nilainya, sedangkan x adalah bilangan yang tidak diketahui dan harus dicari nilainya. Contoh : relasi antara resistansi dan tegangan listrik : I X R =  V

Untuk sistem linear yang mempunyai dua persamaan dan dua variable yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai berikut :

a11x1 + a12x2 = b1

a21x1 + a22x2 = b2

Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk : ax  + a2 y = b

Persamaan semacam ini disebut persamaan linear dalam peubah (variable) c dan peubah y. Secara umum persamaan linear dalam n peubah  x1, x2,………..xn didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk :

a1 x1 + x2 x2 + ….+ an xn    = b

dengan   a1, a2, a3,……………..an     dan b merupakan konstanta bilangan riil

contoh : manakah yang termasuk persamaan linear dari persamaan persamaan berikut ini :

a.       X + 3y  = 7

b.      X + 3 y2 = 7

c.       3x + 2y  – z + xz  = 4

d.      Y = ½ x  + 3z + 1

e.       Y – sin x = 0

f.         + 2x2 ++ x3 =1

Jawab:

Persamaan a dan d termasuk persamaan linear

Persamaan b bukan persamaan linear sebab terdapat variable berpangkat 2

Persamaan c bukan persamaan linear  karema melibatkan perkalian peubah

Persamaan e bukan perssaan linear karena terdapat bentuk sinus yang termasuk fungsi trigonometri

Persamaan f bukan persamaan linear karena melibatkan akar peubah

 

Sistem Persamaan Linear

Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear adalah peubah x1, x2, x3……..xn, dinamakan system persamaan linear atau system linear

Contoh :

a.

      4x1 – x2 + 3x3  =-1

      3×1 + x2 + 9x = -4

       x1 + 2x2  –  3x3 =3

b.

       x – y =2

       x + 2y = 5

Pemecahan suatu system persamaan linear adalah ukuran dari n bilangan s1, s2,…..sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubtitusikan terhadap persamaan – persamaan dalam system linear tersebut. Himpunan semua pemecahan system persamaan linear disebut himpunan pemecahan sistem persamaan linear.

Contoh: tentukanlah solusi system persamaan linear berikut:

a.

        x – 2y = 8

        3x + y = 3

b.

        x1 +2x2 –x3 =3

        2x1 –x2 +3x3 = -4

        3x1 +x2 + x3 = 1

Jawab:

a.

x – 2y = 8

3x +y = 3

Untuk memecahkan SPL  tersebut kita gunakan cara eliminasi maupun cara subtitusi. Berikut ini akan digunakan cara eliminasi :

sistem_persamaan_linear_2

Jadi himpunan penyelesaian/pemecahannya adalah HP = {(2, -3)}

b.

X1    +  2x2  –   x3  = 3……………………………………  i

2x1  –  x2     +  3x3 = -4…………………………………..  ii

3x1  +  x2       +   x3  = 1…………………………………… iii

Untuk memecahkan SPL  tersebut digunakan cara eleminasi dari persamaan (1) dan (2) :

sistem_persamaan_linear_3

Untuk  x3 = – 2    :

5x2 – 5x3  =  10

5x2 – 5(-2)  =  10

5x2  + 10   =  10

X2           = 0

Untuk x2   = 0  dan  X3  = -2 , maka dari persamaan I didapat:

X1 + 2x2 – x3 =3

X1 = 3 – 2x2 + x3

X1 = 3 – 2(0) + (-2)

X1 = 1

Jadi himppunan pemecahannya adalah : X1 = 1,              X2      = 0,               X3  = -2

Solusi Sistem persamaan linear 

Suatu sistem persamaan linear mempunyai tiga kemungkinan solusi, yaitu:

  1. Sistem persamaan linear tidak mempunyai pemecahan
  2. Sistem persamaan linear mempunyai tak  hingga pemecahan
  3. Sistem persamaan linear mempunyai tepat satu pemecahan

Sistem persamaan linear yang tidak mempunyai pemecahan dikatakan tidak konsisten atau inkonsisten

Sedangkan SPL yang mempunyai minimal satu pemecahan dinamakan konsisten.

Sebagai ilustrasi kita ambil  SPL  sebagai berikut:

a 1x  +  b1y = c1

a 2x  +  b2y = c2

kedua persamaan tersebut berupa garis lurus yang jika digambarkan ada terdapat 3 kemungkinan yaitu:

sistem_persamaan_linear_4

  1. Garis l1 // l2 sehingga tidak ada perpotongan garis atau tidak ada titik yang dapat memenuhi kedua persamaan tersebut. Berarti system tidak mempunyai pemecahan
  2. Garis l1 berpotongan dengan garis l2 di satu titik gerarti system mempunayai tepat satu pemmecahan
  3. garis   l1 berimpit  l2  , sehingga terdapat tak hingga banyaknya pemecahan yang memenuhi kedua persamaan. Berarti system mempunyai tak hingga banyak pemecahan

contoh: bila manakah system:

a1x  +  b1y = c1

a2x  +  b2y = c2

  1. Mempunyai satu pemecahan ,
  2. Tak hingga banyak pemecahan dan
  3. Tak punya pemecahan? Berikan  contohnya

jawab:

System persamaan linear berbentuk :

a1x  +  b1y = c1                                                                   

a2x  +  b2y = c2

Mempunyai satu pemecahan bila :   a/ a2 ≠  b1 / b2   (disebut konsisten)

contoh:

     2 x + 3 y  = 8

     x  –  2 y   = -3

sistem_persamaan_linear_5

Mempunyai tak hingga banyak pemecahan bila : a1 / a2 =  b1/b2 =c1/c2

contoh:

-x +2y  =-3

3x -6y =9

sistem_persamaan_linear_6

Persamaan 3x – 6y =9 jika kita bagi dengan -3 maka akan diperoleh -x +2y  =-3 yang tidak lain merupakan persamaaan yang pertama. Dan  pada gambar  ditunjukan bahwa kedua garis ini berhimpitan sehingga solusi SPL  tersebut adalah HP = (-~ , ~)    £ riil

Tidak mempunyai pemecahan jika : a1 /a2 =  b1/b2  ≠ c1/c2

contoh:

2x – 3y = -6

4x – 6y   = 12

Gambar

sistem_persamaan_linear_7

Dari gambar ditunjukkan bahwa kedua garis tersebut sejajar artinya tidak ada satupun titik yang dapat memenuhi pertidaksamaan tersebut. Jadi solusi SPL tersebut HP: (   )

Baca juga: Penulisan sistem persamaan linear dengan matrik

Print Friendly, PDF & Email
Hari

Written by 

admin "Ilmu Itu Tak Ada Yang Tak Bermanfaat"

Leave a Reply

Your email address will not be published.